Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Langkah 1

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (θ)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Langkah 4

Karena turunan dari $\tan (θ)$ adalah $\sec^{2} (θ)$ , maka integral dari $\sec^{2} (θ)$ adalah $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ dan $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Evaluasi $- θ + \tan (θ)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Langkah 5.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ dan $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Langkah 6

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{2})$ adalah $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi $\frac{π}{2}$ menjadi dua sudut di mana nilai dari enam fungsi trigonometrinya diketahui.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Langkah 6.2

Terapkan identitas penjumlahan sudut-sudut.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Langkah 6.3

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Langkah 6.4

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Langkah 6.5

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{6})$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Langkah 6.6

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Langkah 6.7

Sederhanakan $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1

Kalikan $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1.1

Gabungkan $\sqrt{3}$ dan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Langkah 6.7.1.1.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Langkah 6.7.1.1.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Langkah 6.7.1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Langkah 6.7.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Langkah 6.7.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Langkah 6.7.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Langkah 6.7.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Langkah 6.7.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Langkah 6.7.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Langkah 6.7.1.2.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Langkah 6.7.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Langkah 6.7.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Langkah 6.7.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Langkah 6.7.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Langkah 6.8

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Langkah 7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi