Kalkulus Contoh

$f (x) = 25 \ln (x^{2}) - x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 \ln (x^{2}) - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25 \ln (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$25 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$25 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$25 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Gabungkan $\frac{2}{x^{2}}$ dan $x$ .

$25 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$25 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.7

Gabungkan $25$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{25 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.2.8

Kalikan $25$ dengan $2$ .

$\frac{50}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{50}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{50}{x} - (2 x)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{50}{x} - 2 x$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x + \frac{50}{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x + \frac{50}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{50}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{50}{x})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{50}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $50$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{50}{x}$ terhadap $x$ adalah $50 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 50 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 + 50 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 + 50 (- x^{- 2})$

Langkah 2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $50$ .

$f'' (x) = - 2 - 50 x^{- 2}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 - 50 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $- 50$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{- 50}{x^{2}}$

Langkah 2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - 2 - \frac{50}{x^{2}}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - \frac{50}{x^{2}} - 2$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 x + \frac{50}{x} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 \ln (x^{2}) - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [25 \ln (x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25 \ln (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$25 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$25 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$25 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$25 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.5

Gabungkan $\frac{2}{x^{2}}$ dan $x$ .

$25 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$25 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$25 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.7

Gabungkan $25$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{25 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $25$ dengan $2$ .

$\frac{50}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{50}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{50}{x} - (2 x)$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{50}{x} - 2 x$

Langkah 4.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 2 x + \frac{50}{x}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x + \frac{50}{x}$ .

$- 2 x + \frac{50}{x}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x + \frac{50}{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 x + \frac{50}{x} = 0$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $- 2 x + \frac{50}{x} = 0$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- 2 x + \frac{50}{x} = 0$ dengan $x$ .

$- 2 x \cdot x + \frac{50}{x} x = 0 x$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$- 2 (x \cdot x) + \frac{50}{x} x = 0 x$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{50}{x} x = 0 x$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 x^{2} + \frac{50}{x} x = 0 x$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 x^{2} + 50 = 0 x$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$- 2 x^{2} + 50 = 0$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangkan $50$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x^{2} = - 50$

Langkah 5.4.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = - 50$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = - 50$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 50}{- 2}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 50}{- 2}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 50}{- 2}$

Langkah 5.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Bagilah $- 50$ dengan $- 2$ .

$x^{2} = 25$

Langkah 5.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 5.4.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 5.4.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 5.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 5.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 5.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{50}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 5, - 5$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 5$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{50}{{(5)}^{2}} - 2$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{50}{25} - 2$

Langkah 9.1.2

Bagilah $50$ dengan $25$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 - 2$

Langkah 9.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$- 4$

Langkah 10

$x = 5$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 5$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = 25 \ln ({(5)}^{2}) - {(5)}^{2}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (5) = 25 \ln (25) - {(5)}^{2}$

Langkah 11.2.1.2

Sederhanakan $25 \ln (25)$ dengan memindahkan $25$ ke dalam logaritma.

$f (5) = \ln (25^{25}) - {(5)}^{2}$

Langkah 11.2.1.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (5) = \ln (25^{25}) - 1 \cdot 25$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$f (5) = \ln (25^{25}) - 25$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (25^{25}) - 25$ .

$y = \ln (25^{25}) - 25$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 5$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{50}{{(- 5)}^{2}} - 2$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{50}{25} - 2$

Langkah 13.1.2

Bagilah $50$ dengan $25$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Langkah 13.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 - 2$

Langkah 13.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$- 4$

Langkah 14

$x = - 5$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 5$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5) = 25 \ln ({(- 5)}^{2}) - {(- 5)}^{2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 5) = 25 \ln (25) - {(- 5)}^{2}$

Langkah 15.2.1.2

Sederhanakan $25 \ln (25)$ dengan memindahkan $25$ ke dalam logaritma.

$f (- 5) = \ln (25^{25}) - {(- 5)}^{2}$

Langkah 15.2.1.3

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 5) = \ln (25^{25}) - 1 \cdot 25$

Langkah 15.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$f (- 5) = \ln (25^{25}) - 25$

Langkah 15.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (25^{25}) - 25$ .

$y = \ln (25^{25}) - 25$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 25 \ln (x^{2}) - x^{2}$ .

$(5, \ln (25^{25}) - 25)$ adalah maksimum lokal

$(- 5, \ln (25^{25}) - 25)$ adalah maksimum lokal

Langkah 17