Kalkulus Contoh

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.10

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.11

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.12

Gabungkan $4$ dan $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.13

Faktorkan $2$ dari $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.14.1

Faktorkan $2$ dari $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 4.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Langkah 6

Selesaikan $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Langkah 6.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ dengan $y^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ dengan $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tentukan faktor persekutuan $y^{\frac{1}{2}}$ yang ada dalam setiap suku.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2

Substitusikan $u$ untuk $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Langkah 6.3.3

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Langkah 6.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Langkah 6.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Langkah 6.3.3.1.2

Sederhanakan.

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Langkah 6.3.3.2

Kurangkan $2 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Langkah 6.3.3.3

Faktorkan $u$ dari $- y' u - 2 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Faktorkan $u$ dari $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Langkah 6.3.3.3.2

Faktorkan $u$ dari $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Langkah 6.3.3.3.3

Faktorkan $u$ dari $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Langkah 6.3.3.4

Bagi setiap suku pada $u (- y' - 2) = - 2 y'$ dengan $- y' - 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.1

Bagilah setiap suku di $u (- y' - 2) = - 2 y'$ dengan $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Langkah 6.3.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- y' - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Langkah 6.3.3.4.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Langkah 6.3.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Langkah 6.3.3.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Langkah 6.3.3.4.3.3

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Langkah 6.3.3.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Langkah 6.3.3.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.4.3.5.1

Tulis kembali $- (y' + 2)$ sebagai $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Langkah 6.3.3.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Langkah 6.3.3.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Langkah 6.3.3.4.3.5.4

Kalikan $\frac{2 y'}{y' + 2}$ dengan $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Langkah 6.3.4

Substitusikan $y'$ untuk $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$