Kalkulus Contoh

${(x y)}^{x} = e$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d x} (e)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${(x y)}^{x}$ sebagai $e^{\ln ({(x y)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x y)}^{x})}]$

Langkah 2.1.2

Perluas $\ln ({(x y)}^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x y)}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x \ln (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x \ln (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{d}{d x} [x \ln (x y)]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x y)$ .

$e^{x \ln (x y)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x y$ .

$e^{x \ln (x y)} (x (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{x y}$ dan $x$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x y] + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.7

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y \cdot 1) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y) \cdot 1)$

Langkah 2.11

Kalikan $\ln (x y)$ dengan $1$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y' + y) + \ln (x y))$

Langkah 2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y') + \frac{1}{y} y + \ln (x y))$

Langkah 2.12.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} (x y')) + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$e^{x \ln (x y)} (\frac{x}{y} y') + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3.2

Gabungkan $\frac{x}{y}$ dan $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \frac{x y'}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3.3

Gabungkan $e^{x \ln (x y)}$ dan $\frac{x y'}{y}$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} (\frac{1}{y} y) + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3.4

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \frac{y}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} \cdot 1 + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.3.6

Kalikan $e^{x \ln (x y)}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$

Langkah 2.12.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)}$

Langkah 3

Karena $e$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} (x y')}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{e^{x \ln (x y)} x y'}{y} + e^{x \ln (x y)}$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{x y' e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Langkah 5.1.2

Susun kembali $x$ dan $y'$ .

$e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + \frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Langkah 5.1.3

Susun kembali $e^{x \ln (x y)} \ln (x y)$ dan $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)} = 0$

Langkah 5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} \ln (x y) + e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + \ln (x y) e^{x \ln (x y)} + e^{x \ln (x y)} = 0$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $\ln (x y) e^{x \ln (x y)}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} + e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $e^{x \ln (x y)}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}$

Langkah 5.4

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{y} y = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Langkah 5.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' x e^{x \ln (x y)} = (- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Sederhanakan $(- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - e^{x \ln (x y)}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$

Langkah 5.5.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \ln (x y) e^{x \ln (x y)} y - e^{x \ln (x y)} y$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - \ln (x y) y e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Langkah 5.5.2.1.2.2

Pindahkan $\ln (x y)$ .

$y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ dengan $x e^{x \ln (x y)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $y' x e^{x \ln (x y)} = - y \ln (x y) e^{x \ln (x y)} - y e^{x \ln (x y)}$ dengan $x e^{x \ln (x y)}$ .

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x \ln (x y)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' e^{x \ln (x y)}}{e^{x \ln (x y)}} = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x \ln (x y)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- y \ln (x y) e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x \ln (x y)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y e^{x \ln (x y)}}{x e^{x \ln (x y)}}$

Langkah 5.6.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Langkah 5.6.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \ln (x y)}{x} - \frac{y}{x}$