Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ sebagai ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.5

Kalikan $1 - x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.10.2

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.12.1

Kalikan $1 + x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.12.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.12.3

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.12.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 9.12.5

Kalikan $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 9.12.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 9.12.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.12.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 9.12.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1 - x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ dengan $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.2

Pindahkan ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3

Kalikan ${(1 - x)}^{2}$ dengan ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.1

Pindahkan ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3.3.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$