Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} {(- 8 x)}^{2} e^{- 3 x}$

Langkah 1

Tulis kembali ${(- 8 x)}^{2} e^{- 3 x}$ sebagai $\frac{{(- 8 x)}^{2}}{e^{3 x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(- 8 x)}^{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} {(- 8 x)}^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 8 x (- 8 x)}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.2

Pindahkan $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 8 \cdot - 8 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $- 8$ dengan $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 64 x \cdot x}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 64 (x^{1} x)}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 64 (x^{1} x^{1})}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{lim_{x \to \infty} 64 x^{1 + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 64 x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.2.8

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 2.1.3

Karena eksponen $3 x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(- 8 x)}^{2}}{e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 8 x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 8 x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 8)}^{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3.3

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3.4

Karena $64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $64 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{64 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{64 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3.6

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 2.3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 2.3.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 2.3.8

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 2.3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{e^{3 x} (3 \cdot 1)}$

Langkah 2.3.10

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{e^{3 x} \cdot 3}$

Langkah 2.3.11

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{128 x}{3 e^{3 x}}$

Langkah 3

Pindahkan suku $\frac{128}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{3 x}}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{128}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 4.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{128}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Langkah 4.1.3

Karena eksponen $3 x$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{3 x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{128}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 4.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{128}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Langkah 4.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 4.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 4.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Langkah 4.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 4.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}$

Langkah 4.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x} \cdot 3}$

Langkah 4.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$\frac{128}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 x}}$

Langkah 5

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{128}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{3 x}}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{3 x}}$ mendekati $0$ .

$\frac{128}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{128}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $\frac{128}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{128}{3 \cdot 3} \cdot 0$

Langkah 7.1.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{128}{9} \cdot 0$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{128}{9}$ dengan $0$ .

$0$