Kalkulus Contoh

$x^{3} y^{2} = 2 x^{2} + y^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Langkah 2.6

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 4 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = 2 y y' + 4 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $2 y y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 2 y y' = 4 x$

Langkah 5.2

Kurangkan $3 x^{2} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{3} y y' - 2 y y' = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 y y'$ dari $2 x^{3} y y' - 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2 y y'$ dari $2 x^{3} y y'$ .

$2 y y' x^{3} - 2 y y' = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 y y'$ dari $- 2 y y'$ .

$2 y y' x^{3} + 2 y y' \cdot - 1 = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $2 y y'$ dari $2 y y' x^{3} + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (x^{3} - 1) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$2 y y' (x^{3} - 1^{3}) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.5

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$2 y y' ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$2 y y' ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.6.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 y y' ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 5.7

Bagi setiap suku pada $2 y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$ dengan $2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 4 x - 3 x^{2} y^{2}$ dengan $2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{2 y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(y (x - 1)) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.2.4.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 x}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$y' = \frac{2 (2 x)}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$y' = \frac{2 (2 x)}{2 ((y (x - 1)) (x^{2} + x + 1))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (2 x)}{2 ((y (x - 1)) (x^{2} + x + 1))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x}{(y (x - 1)) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{y (- 3 x^{2} y)}{2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$y' = \frac{2 x}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y ((2 (x - 1)) (x^{2} + x + 1))}$

Langkah 5.7.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 x}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y ((2 (x - 1)) (x^{2} + x + 1))}$

Langkah 5.7.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{- 3 x^{2} y}{(2 (x - 1)) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 5.7.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 x}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{2} y}{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y (x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x^{2} y}{2 (x - 1) (x^{2} + x + 1)}$