Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Langkah 2

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.1.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.1.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali $- 1 \sin (x)$ sebagai $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Langkah 2.3

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.3.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.3.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.4

Atur $- \sin (x) + \cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $- \sin (x) + \cos (x)$ sama dengan $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.3

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.6

Pisahkan pecahan.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 2.4.2.7

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 2.4.2.8

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Langkah 2.4.2.9

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Langkah 2.4.2.10

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \tan (x) = - 1$

Langkah 2.4.2.11

Bagi setiap suku pada $- \tan (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.11.1

Bagilah setiap suku di $- \tan (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.4.2.11.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.11.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.4.2.11.2.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.4.2.11.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.11.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Langkah 2.4.2.12

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (1)$

Langkah 2.4.2.13

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.13.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 2.4.2.14

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 2.4.2.15

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.15.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.4.2.15.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.15.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.4.2.15.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 2.4.2.15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.15.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 2.4.2.15.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 2.4.2.16

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.16.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.4.2.16.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 2.4.2.16.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 2.4.2.16.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.4.2.17

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.6

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Periksa setiap penyelesaian dengan mensubstitusikannya ke dalam $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ dan menyelesaikannya.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Selesaikan fungsi asal $f (x) = e^{x} \cos (x)$ pada $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $e^{\frac{π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4

Selesaikan fungsi asal $f (x) = e^{x} \cos (x)$ pada $x = \frac{5 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Langkah 4.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $e^{\frac{5 π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 5

Selesaikan fungsi asal $f (x) = e^{x} \cos (x)$ pada $x = \frac{9 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{9 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 5.2.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $e^{\frac{9 π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6

Selesaikan fungsi asal $f (x) = e^{x} \cos (x)$ pada $x = 10.21017612$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $10.21017612$ pada pernyataan tersebut.

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Langkah 7

Selesaikan fungsi asal $f (x) = e^{x} \cos (x)$ pada $x = 13.35176877$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $13.35176877$ pada pernyataan tersebut.

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Langkah 8

Garis tangen datar pada fungsi $f (x) = e^{x} \cos (x)$ adalah $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Langkah 9