Kalkulus Contoh

$\int {(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2} d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(e^{2 x} - e^{- 2 x})}^{2}$ sebagai $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ .

$\int (e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.2

Perluas $(e^{2 x} - e^{- 2 x}) (e^{2 x} - e^{- 2 x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int e^{2 x} e^{2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int e^{2 x + 2 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.1.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\int e^{4 x} + e^{2 x} (- e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\int e^{4 x} - e^{2 x} e^{- 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{- 2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.3.1

Pindahkan $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - (e^{- 2 x} e^{2 x}) - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int e^{4 x} - e^{- 2 x + 2 x} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.3.3

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\int e^{4 x} - e^{0} - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.4

Sederhanakan $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{- 2 x} e^{2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.5

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.5.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - (e^{2 x} e^{- 2 x}) - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int e^{4 x} - 1 - e^{2 x - 2 x} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.5.3

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - e^{0} - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.6

Sederhanakan $- e^{0}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - e^{- 2 x} (- e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} e^{- 2 x} d x$

Langkah 1.3.1.8

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $e^{- 2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.8.1

Pindahkan $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- 2 x} e^{- 2 x}) d x$

Langkah 1.3.1.8.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x - 2 x} d x$

Langkah 1.3.1.8.3

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 4 x} d x$

Langkah 1.3.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 4 x} d x$

Langkah 1.3.1.10

Kalikan $e^{- 4 x}$ dengan $1$ .

$\int e^{4 x} - 1 - 1 + e^{- 4 x} d x$

Langkah 1.3.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\int e^{4 x} - 2 + e^{- 4 x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int e^{4 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 3

Biarkan $u_{1} = 4 x$ . Kemudian $d u_{1} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u_{1} = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 3.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 3.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 4

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 6

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 d x + \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 8

Biarkan $u_{2} = - 4 x$ . Kemudian $d u_{2} = - 4 d x$ sehingga $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u_{2} = - 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Langkah 9.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 12

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) - 2 x + C - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- 4 x$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 x - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$