Kalkulus Contoh

$y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ sebagai $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Langkah 3.1.2

Perluas $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{x}$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}]$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (1 + x)$ dan $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.5.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{1 + x}$ dan $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \cdot 1 - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6.6

Kalikan $\frac{x}{1 + x}$ dengan $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.7

Kalikan $\frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ dengan $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Langkah 3.8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Gabungkan.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) (\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.8.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.8.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.8.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \cdot 1)}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.10.2

Gabungkan $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}$ dan $\frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{(1 + x) x^{2}}$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + 1 (- \ln (1 + x)) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2.1.2

Kalikan $- \ln (1 + x)$ dengan $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) - x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- \ln (1 + x)) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Langkah 3.11.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1} x^{2}}$

Langkah 3.11.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1 + 2}}$

Langkah 3.11.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{3}}$

Langkah 3.11.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$