Kalkulus Contoh

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $5$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{\frac{1}{4}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

Langkah 3.3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

Langkah 3.3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

Langkah 3.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

Langkah 3.3.7.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

Langkah 3.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

Langkah 3.3.9

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

Langkah 3.3.10

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ dan $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Langkah 3.3.11

Pindahkan $y^{- \frac{3}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 3.3.12

Gabungkan $3$ dan $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 3.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 4

Karena $18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $18$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tambahkan $\frac{15}{x^{4}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan $\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.3.2.1.2

Kalikan $4 \frac{15}{x^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{15}{x^{4}}$ .

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.3.2.1.3

Gabungkan $\frac{60}{x^{4}}$ dan $y^{\frac{3}{4}}$ .

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ dengan $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Langkah 6.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 6.4.3.2

Gabungkan.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

Langkah 6.4.3.3

Faktorkan $3$ dari $60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

Langkah 6.4.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $x^{4} \cdot 3$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Langkah 6.4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Langkah 6.4.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

Langkah 6.4.3.5

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$