Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali $\sqrt{x} e^{- \frac{x}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.1.2

Ketika $x$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.1.3

Karena eksponen $\frac{x}{2}$ mendekati $\infty$ , jumlah $e^{\frac{x}{2}}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.9.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}$

Langkah 2.3.10

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Langkah 2.3.10.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Langkah 2.3.10.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}$

Langkah 2.3.11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Langkah 2.3.12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1}$

Langkah 2.3.14

Kalikan $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.5

Tulis kembali $x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.6

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ dengan $\frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 \sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 2.8

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 2.9

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}} \sqrt{x}}$

Langkah 2.9.2

Pindahkan $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Langkah 2.9.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Langkah 2.9.4

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Langkah 2.9.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.9.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 2.9.7

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.9.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.9.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.9.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.9.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x^{1}}$

Langkah 2.9.7.5

Sederhanakan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$

Langkah 2.10

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt{x}}{e^{\frac{x}{2}} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 3

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x e^{\frac{x}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (e^{\frac{x}{2}})}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}}$

Langkah 3.4

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{e^{\frac{x}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ mendekati $0$ .

$0$