Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{- 1} - 2}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{x} - 2}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x}}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x}}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Untuk menuliskan $x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1 - 2 x}{x}}{\frac{x \cdot 2 - 1}{2}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan penjelasan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{x} \cdot \frac{2}{x \cdot 2 - 1}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\frac{1 - 2 x}{x}$ dengan $\frac{2}{x \cdot 2 - 1}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(1 - 2 x) \cdot 2}{x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 \frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x (x \cdot 2 - 1)}$

Langkah 2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Langkah 2.1.3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}$

Langkah 2.1.3.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}$

Langkah 2.1.3.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.6.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Langkah 2.1.3.6.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot (1 - 1)}$

Langkah 2.1.3.6.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 \frac{0}{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Langkah 2.1.3.6.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.1.3.6.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.1.3.7

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$2 (\frac{0}{0})$

Langkah 2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{x (x \cdot 2 - 1)} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.5

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 2 - 1)]}$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [x (2 x - 1)]}$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.11

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.13

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{x \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.14

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{2 \cdot x + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 2.3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{2 x + (2 x - 1) \cdot 1}$

Langkah 2.3.16

Kalikan $2 x - 1$ dengan $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{2 x + 2 x - 1}$

Langkah 2.3.17

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{4 x - 1}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan suku $- 2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cdot - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4 x - 1}$

Langkah 3.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 1}$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 1}$

Langkah 3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Langkah 3.5

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Langkah 3.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{1}{2}$ .

$2 \cdot - 2 \frac{1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Langkah 4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{1}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$2 \cdot - 2 \frac{1}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- 4 \frac{1}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- 4 \frac{1}{2 (2) \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \frac{1}{2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 4 \frac{1}{2 - 1}$

Langkah 5.2.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \cdot 1$

Langkah 5.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4$