Kalkulus Contoh

$\sum_{j = 1}^{15} {(j - 1)}^{3}$

Langkah 1

Sederhanakan penjumlahannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$j^{3} + 3 j^{2} \cdot - 1 + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Langkah 1.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j + {(- 1)}^{3}$

Langkah 1.2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali penjumlahannya.

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

Langkah 2

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1 = \sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2} + 3 \sum_{j = 1}^{15} j + \sum_{j = 1}^{15} - 1$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{j = 1}^{15} j^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $3$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Langkah 3.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$\frac{15^{2} {(15 + 1)}^{2}}{4}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$\frac{15^{2} \cdot 16^{2}}{4}$

Langkah 3.3.1.2

Naikkan $15$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{225 \cdot 16^{2}}{4}$

Langkah 3.3.1.3

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{225 \cdot 256}{4}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $225$ dengan $256$ .

$\frac{57600}{4}$

Langkah 3.3.2.2

Bagilah $57600$ dengan $4$ .

$14400$

Langkah 4

Evaluasi $3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $2$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(- 3) (\frac{15 (15 + 1) (2 \cdot 15 + 1)}{6})$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$- 3 \frac{15 \cdot 16 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

Langkah 4.3.1.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.2.1

Kalikan $15$ dengan $16$ .

$- 3 \frac{240 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

Langkah 4.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $15$ .

$- 3 \frac{240 (30 + 1)}{6}$

Langkah 4.3.1.3

Tambahkan $30$ dan $1$ .

$- 3 \frac{240 \cdot 31}{6}$

Langkah 4.3.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $240$ dengan $31$ .

$- 3 (\frac{7440}{6})$

Langkah 4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{7440}{6}$

Langkah 4.3.2.2.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

Langkah 4.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

Langkah 4.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (\frac{7440}{2})$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Bagilah $7440$ dengan $2$ .

$- 1 \cdot 3720$

Langkah 4.3.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3720$ .

$- 3720$

Langkah 5

Evaluasi $3 \sum_{j = 1}^{15} j$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Rumus untuk penjumlahan polinomial dengan derajat $1$ adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya dan pastikan untuk mengalikan dengan suku depannya.

$(3) (\frac{15 (15 + 1)}{2})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$3 \frac{15 \cdot 16}{2}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $15$ dengan $16$ .

$3 (\frac{240}{2})$

Langkah 5.3.3

Bagilah $240$ dengan $2$ .

$3 \cdot 120$

Langkah 5.3.4

Kalikan $3$ dengan $120$ .

$360$

Langkah 6

Evaluasi $\sum_{j = 1}^{15} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(- 1) (15)$

Langkah 6.3

Kalikan $- 1$ dengan $15$ .

$- 15$

Langkah 7

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$14400 - 3720 + 360 - 15$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kurangi $3720$ dengan $14400$ .

$10680 + 360 - 15$

Langkah 8.2

Tambahkan $10680$ dan $360$ .

$11040 - 15$

Langkah 8.3

Kurangi $15$ dengan $11040$ .

$11025$