Kalkulus Contoh

${(x + 1)}^{x}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x + 1)}^{x}$ sebagai $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(x + 1)}^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x + 1)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x \ln (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x \ln (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $x$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.5.2

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

Langkah 5.7

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1))$

Langkah 6

Untuk menuliskan $\ln (x + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1})$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 8

Gabungkan $e^{x \ln (x + 1)}$ dan $\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1)}{x + 1}$

Langkah 9.1.1.2

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 9.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 9.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)$ .

$\frac{x e^{x \ln (x + 1)} + x e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Langkah 9.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} x \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$