Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Langkah 1

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Susun kembali $x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Langkah 1.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{1}{2}$

Langkah 1.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Langkah 1.5.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Langkah 1.5.2.1.4

Kalikan $- - \frac{1}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Langkah 1.5.2.1.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Langkah 1.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{1}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Langkah 2.1.4

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Langkah 2.3

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Langkah 2.5.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Langkah 3

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Langkah 4

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5

Susun kembali $- {u_{1}}^{2}$ dan ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 6

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{1}{2}$ dan $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Langkah 7

Untuk menuliskan $u_{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Langkah 8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $u_{1}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Langkah 8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Langkah 9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Langkah 10

Untuk menuliskan $- u_{1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Langkah 11

Gabungkan $- u_{1}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Langkah 12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Langkah 13

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Langkah 14

Kalikan $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ dengan $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Langkah 15

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Langkah 16

Tulis kembali $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ sebagai ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Langkah 16.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Langkah 16.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Langkah 17

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Langkah 17.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 18

Perluas $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Terapkan sifat distributif.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 18.2

Terapkan sifat distributif.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 18.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 19

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.1.2

Kalikan $- 2 u_{1}$ dengan $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.1.5

Kalikan $u_{1}$ dengan $u_{1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.5.1

Pindahkan $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.1.5.2

Kalikan $u_{1}$ dengan $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.2

Tambahkan $- 2 u_{1}$ dan $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 19.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 20

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 21

Biarkan $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ positif.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.2

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Gabungkan $\cos (t)$ dan $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.2.2

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Langkah 22.2.3

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Langkah 22.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Langkah 22.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Langkah 23

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Langkah 24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 24.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Langkah 25

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 26

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Langkah 27

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 27.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Langkah 28

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 29

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 30

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.1

Biarkan $u_{2} = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 30.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 30.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 30.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 30.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Langkah 30.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 30.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Langkah 30.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = - π$

Langkah 30.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 30.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 30.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 30.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Langkah 30.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 31

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 32

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 33

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Langkah 34

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Langkah 34.2

Evaluasi $\sin (u_{2})$ pada $π$ dan pada $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 34.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 34.3.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 34.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Langkah 34.3.3.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Langkah 35

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 35.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 35.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 35.1.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Langkah 35.1.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Langkah 35.1.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Langkah 35.1.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Langkah 35.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Langkah 35.1.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 35.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Langkah 35.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Langkah 35.3

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $π$ .

$\frac{π}{8}$

Langkah 36

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{8}$

Bentuk Desimal:

$0.39269908 \dots$

Langkah 37