Kalkulus Contoh

${(x + y)}^{2} = 2 x + 2 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + 2 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y) (x + y)]$

Langkah 2.2

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (x + y) + y (x + y)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + 2 y y'$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Langkah 2.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x + 2 x y' + 2 y + 2 y y'$

Langkah 2.10.3

Susun kembali suku-suku.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 + 2 y'$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y' + 2$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y = 2 y' + 2$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $2 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' + 2 y y' + 2 x + 2 y - 2 y' = 2$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - 2 y' = 2 - 2 x$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y' + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y' + 2 y y' - 2 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y y' - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' y - 2 y' = 2 - 2 x - 2 y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $2 y'$ dari $- 2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' y + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' x + 2 y' y$ .

$2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1 = 2 - 2 x - 2 y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' (x + y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ dengan $2 (x + y - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (x + y - 1) = 2 - 2 x - 2 y$ dengan $2 (x + y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (x + y - 1)}{2 (x + y - 1)} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- 2 x}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x + y - 1)} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} + \frac{- x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- 2 y}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x + y - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} + \frac{- y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{1}{x + y - 1} - \frac{x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 - x}{x + y - 1} - \frac{y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 - x - y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $1 - x - y$ dan $x + y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - x - y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1) - (x) - y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 1) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - y}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x) - (y)}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 1 + x) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1 + x + y)}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.7

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1 (x + y - 1)}{x + y - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3.8

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y' = - 1$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1$