Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = 1$ dan $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.4.2.2

Kurangi $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ dengan $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.12

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Langkah 4.13

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'}{x}$

Langkah 4.14

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 4.15

Tulis kembali $\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ sebagai hasil kali.

$- (\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 4.16

Kalikan $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 4.17

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{x'}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 4.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{x'}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.19

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 4.21

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = - \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2

Bagilah $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Langkah 6.3

Kalikan kedua ruas dengan $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}}) = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Sederhanakan $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x' = - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 7

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x^{\frac{3}{2}}$