Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2} + 6 x}{10 - x^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 6 x$ dan $g (x) = 10 - x^{2}$ .

$\frac{(10 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x] - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 6 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6 \cdot 1) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.5

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.7

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 1 (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.10.2

Kalikan $x^{2} + 6 x$ dengan $1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (x^{2} + 6 x) (2 x)}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 6 x$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 2 \cdot (x^{2} + 6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (2 x^{2} + 2 (6 x)) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Perluas $(10 - x^{2}) (2 x + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (2 x + 6) - x^{2} (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (2 x) + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (2 x) + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$\frac{20 x + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $10$ dengan $6$ .

$\frac{20 x + 60 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.6

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 (x \cdot x))}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 x^{2})}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 60 - 6 x^{2} + 0 + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $20 x + 60 - 6 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{20 x + 60 - 6 x^{2} + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $- 6 x^{2}$ dan $12 x^{2}$ .

$\frac{20 x + 60 + 6 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{6 x^{2} + 20 x + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Langkah 3.5

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2} + 20 x + 60$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 20 x + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $2$ dari $20 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (10 x) + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $2$ dari $60$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Langkah 3.5.4

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{2}) + 2 (10 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 10 x) + 2 (30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Langkah 3.5.5

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{2} + 10 x) + 2 (30)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 10 x + 30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$