Kalkulus Contoh

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 3 - 4 x$ . Kemudian $d u = - 4 d x$ sehingga $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 3 - 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - 4 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$0 - 4$

Langkah 2.1.4

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$- 4$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Langkah 2.3

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$u_{upper} = 3$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Langkah 3.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Langkah 7

Gabungkan $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Langkah 8

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $3$ dan pada $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Langkah 9

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Langkah 10

Karena fungsi $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ mendekati $- \infty$ , konstanta negatif $- 1$ kali fungsi mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $- 1$ dihapus.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Langkah 10.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Langkah 10.3

Ketika $t$ mendekati $- \infty$ dari kedua sisi, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ menurun tanpa batas.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Langkah 10.4

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Langkah 10.5

Bilangan tak hingga dibagi dengan bilangan berhingga apa pun dan bukan nol hasilnya adalah tak hingga.

$- \infty$

Langkah 10.6

Karena fungsi $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ mendekati $- \infty$ , konstanta negatif $- 1$ kali fungsi mendekati $\infty$ .

$\infty$