Kalkulus Contoh

$\int \frac{x^{3} - x + 3}{x^{2} + x - 2} d x$

Langkah 1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi menggunakan pembagian polinomial panjang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + x^{2} - 2 x$

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Langkah 1.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

Langkah 1.1.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.1.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Langkah 1.1.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Langkah 1.1.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{2} - x + 2$

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Langkah 1.1.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

$2 x$

$1$

Langkah 1.1.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x - 1 + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Langkah 1.2

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x^{2} + x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{2 x + 1}{(x - 1) (x + 2)}$

Langkah 1.2.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Langkah 1.2.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Langkah 1.2.4

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x + 1) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.6.2

Bagilah $2 x + 1$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x + 1 = \frac{A (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.7.1.2

Bagilah $(A) (x + 2)$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.7.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $A$ .

$2 x + 1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x + 1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Langkah 1.2.7.4.2

Bagilah $(B) (x - 1)$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = A x + 2 A + (B) (x - 1)$

Langkah 1.2.7.5

Terapkan sifat distributif.

$2 x + 1 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 1$

Langkah 1.2.7.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $B$ .

$2 x + 1 = A x + 2 A + B x - 1 \cdot B$

Langkah 1.2.7.7

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$2 x + 1 = A x + 2 A + B x - B$

Langkah 1.2.8

Pindahkan $2 A$ .

$2 x + 1 = A x + B x + 2 A - B$

Langkah 1.3

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$2 = A + B$

Langkah 1.3.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 2 A - 1 B$

Langkah 1.3.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$2 = A + B$

$1 = 2 A - 1 B$

$2 = A + B$

$1 = 2 A - 1 B$

Langkah 1.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Selesaikan $A$ dalam $2 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 2$ .

$A + B = 2$

$1 = 2 A - 1 B$

Langkah 1.4.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 2 - B$

$1 = 2 A - 1 B$

$A = 2 - B$

$1 = 2 A - 1 B$

Langkah 1.4.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $2 - B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $1 = 2 A - 1 B$ dengan $2 - B$ .

$1 = 2 (2 - B) - 1 B$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan $2 (2 - B) - 1 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 = 2 \cdot 2 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.2.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$1 = 4 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.2.2.1.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$1 = 4 - 2 B - 1 B$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.2.2.1.1.4

Tulis kembali $- 1 B$ sebagai $- B$ .

$1 = 4 - 2 B - B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 2 B - B$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kurangi $B$ dengan $- 2 B$ .

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3

Selesaikan $B$ dalam $1 = 4 - 3 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 - 3 B = 1$ .

$4 - 3 B = 1$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $B$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 B = 1 - 4$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3.2.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 3 B = - 3$

$A = 2 - B$

$- 3 B = - 3$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3.3

Bagi setiap suku pada $- 3 B = - 3$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 B = - 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.3.3.1

Bagilah $- 3$ dengan $- 3$ .

$B = 1$

$A = 2 - B$

$B = 1$

$A = 2 - B$

$B = 1$

$A = 2 - B$

$B = 1$

$A = 2 - B$

Langkah 1.4.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = 2 - B$ dengan $1$ .

$A = 2 - (1)$

$B = 1$

Langkah 1.4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1

Sederhanakan $2 - (1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A = 2 - 1$

$B = 1$

Langkah 1.4.4.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

Langkah 1.4.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = 1, B = 1$

Langkah 1.5

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $x - 1 + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$x - 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

Langkah 1.6

Hilangkan nol dari pernyataan tersebut.

$\int x - 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 5

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u_{1} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Langkah 7

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u_{2} = x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 7.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u_{1} |) + C + \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{1} | | u_{2} |) + C$

Langkah 9.2.2

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{1} \cdot u_{2} |) + C$

Langkah 10

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| (x - 1) u_{2} |) + C$

Langkah 10.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| (x - 1) (x + 2) |) + C$