Kalkulus Contoh

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Langkah 2.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Langkah 2.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Langkah 2.2.7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Langkah 2.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Langkah 2.2.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Langkah 2.2.10

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ dan $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Langkah 2.2.11

Pindahkan $y^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.2.12

Gabungkan $3$ dan $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.2.13

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.2.14

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Langkah 5.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Langkah 5.4

Tulis kembali $y^{\frac{2}{3}}$ sebagai ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Langkah 5.5

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ sebagai ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Langkah 5.6

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Langkah 5.7

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ dan $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Langkah 5.7.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Langkah 5.8

Bagi setiap suku pada $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ dengan $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Bagilah setiap suku di $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ dengan $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Langkah 5.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.8.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Langkah 5.8.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Langkah 5.8.2.4

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Langkah 5.8.3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Langkah 5.8.3.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Langkah 5.8.3.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Langkah 5.8.3.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 5.8.3.2

Kalikan $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ dengan $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Langkah 5.8.3.3

Kalikan $y^{\frac{1}{3}}$ dengan $y^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Langkah 5.8.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Langkah 5.8.3.3.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Langkah 5.8.3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$