Kalkulus Contoh

$a = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ sebagai ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$a = π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d h} (a) = \frac{d}{d h} (π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Karena $a$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $a$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $π$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $h$ adalah $π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ adalah $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ di mana $f (h) = r$ dan $g (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$π (r \frac{d}{d h} [{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ adalah $f' (g (h)) g' (h)$ di mana $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ dan $g (h) = r^{2} + h^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.8.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$π (r (\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.8.2.2

Pindahkan ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$π (r (\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.8.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.8.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $r^{2} + h^{2}$ terhadap $h$ adalah $\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.9

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ adalah $f' (g (h)) g' (h)$ di mana $f (h) = h^{2}$ dan $g (h) = r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.9.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.10

Tulis kembali $\frac{d}{d h} [r]$ sebagai $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Langkah 4.12

Tulis kembali $\frac{d}{d h} [r]$ sebagai $r'$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Langkah 4.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Terapkan sifat distributif.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h)) + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Langkah 4.13.2

Gabungkan $\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $π$ .

$\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.3

Susun kembali suku-suku.

$(2 r r' + 2 h) \frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.4.1

Kalikan $2 r r' + 2 h$ dengan $\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 r r' + 2 h) (r π)}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.4.2

Faktorkan $2$ dari $(2 r r' + 2 h) (r π)$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(r r' + h) (r π)}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Langkah 4.13.5

Untuk menuliskan $π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(r r' + h) r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(r r' r + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.2

Kalikan $r$ dengan $r$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.7.2.1

Pindahkan $r$ .

$\frac{(r \cdot r r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.2.2

Kalikan $r$ dengan $r$ .

$\frac{(r^{2} r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.4

Kalikan ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.7.4.1

Pindahkan ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{2}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.4.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.5

Sederhanakan $π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π (r^{2} + h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + (π r^{2} + π h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π r^{2} r' + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.8

Tambahkan $r^{2} r' π$ dan $π r^{2} r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.7.8.1

Susun kembali $r^{2}$ dan $π$ .

$\frac{π r^{2} r' + π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.13.7.8.2

Tambahkan $π r^{2} r'$ dan $π r^{2} r'$ .

$\frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$0 = \frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Selesaikan $r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r' = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan persamaan untuk $r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $h r π$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 π r^{2} r' + π h^{2} r' = - h r π$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $π r'$ dari $2 π r^{2} r' + π h^{2} r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $π r'$ dari $2 π r^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π h^{2} r' = - h r π$

Langkah 6.2.2.2

Faktorkan $π r'$ dari $π h^{2} r'$ .

$π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2} = - h r π$

Langkah 6.2.2.3

Faktorkan $π r'$ dari $π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2}$ .

$π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$

Langkah 6.2.3

Bagi setiap suku pada $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ dengan $π (2 r^{2} + h^{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah setiap suku di $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ dengan $π (2 r^{2} + h^{2})$ .

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Langkah 6.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Langkah 6.2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 r^{2} + h^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Langkah 6.2.3.2.2.2

Bagilah $r'$ dengan $1$ .

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Langkah 6.2.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r' = \frac{- h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Langkah 6.2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r' = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Langkah 7

Ganti $r'$ dengan $\frac{d r}{d h}$ .

$\frac{d r}{d h} = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$