Kalkulus Contoh

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (θ) \tan (θ))$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = \sec (θ)$ dan $g (y) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d y} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \tan (y)$ dan $g (y) = θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $θ$ .

$\sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\tan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $θ$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.3

Naikkan $\sec (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\sec (θ)}^{2 + 1} \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\sec^{3} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [θ]$ sebagai $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \sec (y)$ dan $g (y) = θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.7.2

Turunan dari $\sec (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.8

Naikkan $\tan (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.9

Naikkan $\tan (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sec^{3} (θ) θ' + {\tan (θ)}^{1 + 1} (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Langkah 3.12

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [θ]$ sebagai $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

Langkah 5

Selesaikan $θ'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$ .

$θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

Langkah 5.3

Faktorkan $θ' \sec (θ)$ dari $θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $θ' \sec (θ)$ dari $θ' \sec^{3} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $θ' \sec (θ)$ dari $θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ) = 1$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $θ' \sec (θ)$ dari $θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ dengan $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ dengan $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ .

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $θ'$ dengan $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pisahkan pecahan.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Langkah 5.4.3.2

Tulis kembali $\sec (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Langkah 5.4.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} (1 \cos (θ))$

Langkah 5.4.3.4

Kalikan $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cos (θ)$

Langkah 5.4.3.5

Gabungkan $\frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$ dan $\cos (θ)$ .

$θ' = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$

Langkah 6

Ganti $θ'$ dengan $\frac{d θ}{d y}$ .

$\frac{d θ}{d y} = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$