Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $2 x^{\frac{1}{2}}$ pada $t$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Langkah 4.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 5.2

Karena fungsi $t^{\frac{1}{2}}$ mendekati $\infty$ , konstanta positif $2$ kali fungsi juga mendekati $\infty$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pertimbangkan batasnya dengan kelipatan tetap $2$ dihapus.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali $t^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 5.2.3

Ketika $t$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Langkah 5.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\infty - 2$

Langkah 5.3.2.2

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\infty$