Kalkulus Contoh

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$

Langkah 1

Rewrite the equation with rational exponents.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali sisi kirinya dengan eksponen rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$

Langkah 1.1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{a}$ sebagai $a^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (a^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.9

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x'$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x'}{2} + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Langkah 3.3.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 3.3.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Langkah 3.3.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 3.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Karena $a^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $a^{\frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kurangkan $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$x' = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{- 1}{2 (y^{\frac{1}{2}})} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{- 1}{2 (y^{\frac{1}{2}})} (2 (x^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 6.3.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{- 1}{y^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.1.2

Gabungkan $\frac{- 1}{y^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x' = \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}$