Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \csc (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \csc (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \csc (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\csc (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Langkah 1.1.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{12})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 (6)})$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{6})$ adalah $2$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \csc (2 x)$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{4})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 (2)})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 1.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{2}^{1}$

Langkah 4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi $- \frac{1}{2} u_{2}$ pada $1$ dan pada $2$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} + 1$

Langkah 4.2.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Langkah 4.2.6

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$