Kalkulus Contoh

$h (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.10

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.11

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.2.12

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Langkah 1.2.13

Tambahkan $2 x^{- 3}$ dan $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$2 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$2 + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$2 + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Langkah 2.3.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Langkah 2.3.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Langkah 2.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Langkah 2.3.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$2 + 2 (- 3 x^{- 4})$

Langkah 2.3.8

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$2 - 6 x^{- 4}$

Langkah 2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$2 + \frac{- 6}{x^{4}}$

Langkah 2.5.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 - \frac{6}{x^{4}}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{4}} + 2$

Langkah 3

Turunan kedua dari $h (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{6}{x^{4}} + 2$ .

$- \frac{6}{x^{4}} + 2$