Kalkulus Contoh

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Langkah 2.3.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Langkah 2.3.7

Kalikan $\frac{x}{y}$ dengan $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Langkah 2.3.8

Tambahkan $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ dan $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.5.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.5.1.3

Untuk menuliskan $- \frac{3}{x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Langkah 2.5.1.4

Untuk menuliskan $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 2.5.1.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x^{2} y^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.5.1

Kalikan $\frac{3}{x^{2}}$ dengan $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Langkah 2.5.1.5.2

Kalikan $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ dengan $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Langkah 2.5.1.5.3

Susun kembali faktor-faktor dari $y^{2} x^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Langkah 2.5.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan persamaan untuk $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

Langkah 5.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

Langkah 5.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

Langkah 5.2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

Langkah 5.2.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

Langkah 5.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

Langkah 5.2.1.3.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

Langkah 5.2.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $3 y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $x^{2} y$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

Langkah 5.2.3

Bagi setiap suku pada $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ dengan $x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Langkah 5.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Langkah 5.2.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

Langkah 5.2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

Langkah 5.2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$