Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{0.75} \frac{x^{2}}{\sqrt{9 - 16 x^{2}}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = \frac{3}{4} \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \frac{3 \cos (t)}{4} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \cos (t)}{4}$ positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 {(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - 16 {(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $\sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 {(\frac{3 \sin (t)}{4})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \sin (t)}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{4^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{4^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 16 \frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Faktorkan $16$ dari $- 16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 + 16 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 + 16 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.1.6

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3}{4} \sin (t))}^{2}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $\sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{{(\frac{3 \sin (t)}{4})}^{2}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3 \sin (t)}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{4^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{4^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{4^{2}}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}{3 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.3

Tulis kembali $\frac{\frac{9 \sin^{2} (t)}{16}}{3 \cos (t)}$ sebagai hasil kali.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{16} \cdot \frac{1}{3 \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.4

Kalikan $\frac{9 \sin^{2} (t)}{16}$ dengan $\frac{1}{3 \cos (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{16 (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.5

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{48 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.6.1

Faktorkan $3$ dari $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{48 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $48 \cos (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{3 (16 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 (3 \sin^{2} (t))}{3 (16 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin^{2} (t)}{16 \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{4} d t$

Langkah 2.2.2.3.7

Kalikan $\frac{3 \sin^{2} (t)}{16 \cos (t)}$ dengan $\frac{3 \cos (t)}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 \sin^{2} (t) (3 \cos (t))}{16 \cos (t) \cdot 4} d t$

Langkah 2.2.2.3.8

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{16 \cos (t) \cdot 4} d t$

Langkah 2.2.2.3.9

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{64 \cos (t)} d t$

Langkah 2.2.2.3.10

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t) \cos (t)}{64 \cos (t)} d t$

Langkah 2.2.2.3.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{9 \sin^{2} (t)}{64} d t$

Langkah 3

Karena $\frac{9}{64}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{9}{64}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) d t$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{9}{64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{64} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{9}{64}$ .

$\frac{9}{2 \cdot 64} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$\frac{9}{128} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - \cos (2 t) d t$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{9}{128} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (2 t) d t)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Langkah 10

Biarkan $u = 2 t$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Biarkan $u = 2 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Diferensialkan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Langkah 10.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 10.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 10.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 10.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 10.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 10.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 10.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 10.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 10.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 11

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u))$

Langkah 13

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{9}{128} (t]_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $t$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{9}{128} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $0$ .

$\frac{9}{128} ((\frac{π}{2}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Langkah 14.3

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Langkah 15.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Langkah 15.3

Tambahkan $\sin (π)$ dan $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \sin (π))$

Langkah 15.4

Gabungkan $\sin (π)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Langkah 16.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Langkah 16.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} - 0)$

Langkah 16.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{9}{128} (\frac{π}{2} + 0)$

Langkah 16.4

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{9}{128} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 16.5

Kalikan $\frac{9}{128} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Kalikan $\frac{9}{128}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9 π}{128 \cdot 2}$

Langkah 16.5.2

Kalikan $128$ dengan $2$ .

$\frac{9 π}{256}$

Langkah 17

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{9 π}{256}$

Bentuk Desimal:

$0.11044661 \dots$

Langkah 18