Kalkulus Contoh

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(x - y)}^{2}$ sebagai $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - y) (x - y)]$

Langkah 2.2

Perluas $(x - y) (x - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (x - y) - y (x - y)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Langkah 2.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.4.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Langkah 2.3.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Kurangi $y x$ dengan $- x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Langkah 2.3.2.2

Kurangi $x y$ dengan $- x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.4.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.6

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.7.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.9

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y'$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$2 x - 2 (x y') - 2 y + 2 y y'$

Langkah 2.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 x - 2 x y' - 2 y + 2 y y'$

Langkah 2.10.3

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x y' + 2 y y' + 2 x - 2 y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + y' + 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $1 + y'$ dan $0$ .

$1 + y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 2 x y' + 2 y y' + 2 x - 2 y = 1 + y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x y' + 2 y y' + 2 x - 2 y - y' = 1$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x y' + 2 y y' - 2 y - y' = 1 - 2 x$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 x + 2 y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y' + 2 y y' - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y'$ .

$y' (- 2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 x + 2 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 x + 2 y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (- 2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x + 2 y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 2 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x + 2 y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 x + 2 y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (- 2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 x + 2 y$ dengan $- 2 x + 2 y - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 x + 2 y$ dengan $- 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x + 2 y - 1)}{- 2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 x + 2 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 x + 2 y - 1)}{- 2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{1}{- 2 x + 2 y - 1} - \frac{2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 - 2 x}{- 2 x + 2 y - 1} + \frac{2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- 2 x + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x) + 2 y - 1}$

Langkah 5.4.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x) - (- 2 y) - 1}$

Langkah 5.4.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x - 2 y) - 1}$

Langkah 5.4.3.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x - 2 y) - 1 (1)}$

Langkah 5.4.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x - 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- (2 x - 2 y + 1)}$

Langkah 5.4.3.9

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.9.1

Tulis kembali $- (2 x - 2 y + 1)$ sebagai $- 1 (2 x - 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{1 - 2 x + 2 y}{- 1 (2 x - 2 y + 1)}$

Langkah 5.4.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1 - 2 x + 2 y}{2 x - 2 y + 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 2 x + 2 y}{2 x - 2 y + 1}$