Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Langkah 1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Langkah 1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Langkah 2

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ sebagai $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Langkah 2.2

Perluas $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Langkah 3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Langkah 4

Tulis kembali $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ sebagai $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Langkah 5.1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Langkah 5.1.3

Karena pembilangnya tetap dan penyebutnya mendekati $0$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati tak hingga.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.4

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.9

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.10

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.13

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.14.1

Faktorkan $x$ dari $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.15.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.15.3.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.3.2

Kurangi $1 \cdot 1$ dengan $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.15.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.4.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.5

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.15.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.5.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.15.5.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Langkah 5.3.16

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Langkah 5.3.17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Langkah 5.3.18

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Langkah 5.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Langkah 5.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $\frac{1}{x (x + 1)}$ dengan $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Langkah 5.5.3

Gabungkan $\frac{1}{x (x + 1)}$ dan $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Langkah 5.6

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Langkah 5.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x + 1}}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Langkah 6.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Langkah 6.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Langkah 7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$e^{\frac{0}{0 + 1}}$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e^{\frac{0}{1}}$

Langkah 8.2

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$e^{0}$

Langkah 9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1$