Kalkulus Contoh

$\sqrt{x + y} + x y = 21$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + y}$ sebagai ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y = 21$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y) = \frac{d}{d x} (21)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2.11

Pindahkan ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \cdot 1$

Langkah 3.3.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$

Langkah 4

Karena $21$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $21$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + x y' + y = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan $1 + y'$ dengan $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y = 0$

Langkah 6.1.2

Untuk menuliskan $x y'$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Langkah 6.1.3

Gabungkan $x y'$ dan $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Langkah 6.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + y' + x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

Langkah 6.1.6

Untuk menuliskan $y$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.7

Gabungkan $y$ dan $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.1.9

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan persamaan untuk $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Langkah 6.3.1.2

Kurangkan $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.3.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$