Kalkulus Contoh

$2 x \sqrt{x^{2} + 7}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 7}$ sebagai ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 7$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 7$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 11

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$2 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 14

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Langkah 18

Kalikan ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 19

Untuk menuliskan ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Kalikan ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{1}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan ${(x^{2} + 7)}^{1}$ .

$2 \frac{x^{2} + x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$