Kalkulus Contoh

$y = \ln (3 x + 4 y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x + 4 y))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x + 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x + 4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 4 y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 4 y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 4 y$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} \frac{d}{d x} [3 x + 4 y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 4 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y])$

Langkah 3.2.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} (3 + \frac{d}{d x} [4 y])$

Langkah 3.2.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} (3 + 4 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{3 x + 4 y} (3 + 4 y')$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 x + 4 y} (3 + 4 y')$ .

$(3 + 4 y') \frac{1}{3 x + 4 y}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $3 + 4 y'$ dengan $\frac{1}{3 x + 4 y}$ .

$\frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $3 x + 4 y$ .

$y' (3 x + 4 y) = \frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y} (3 x + 4 y)$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $y' (3 x + 4 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' (3 x) + y' (4 y) = \frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y} (3 x + 4 y)$

Langkah 5.2.1.1.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 y' x + y' (4 y) = \frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y} (3 x + 4 y)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 y' x + 4 y' y = \frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y} (3 x + 4 y)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $\frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y} (3 x + 4 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x + 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 y' x + 4 y' y = \frac{3 + 4 y'}{3 x + 4 y} (3 x + 4 y)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 y' x + 4 y' y = 3 + 4 y'$

Langkah 5.2.2.1.2

Susun kembali $3$ dan $4 y'$ .

$3 y' x + 4 y' y = 4 y' + 3$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $4 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' x + 4 y' y - 4 y' = 3$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $3 y' x + 4 y' y - 4 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y' x$ .

$y' (3 x) + 4 y' y - 4 y' = 3$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $4 y' y$ .

$y' (3 x) + y' (4 y) - 4 y' = 3$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 4 y'$ .

$y' (3 x) + y' (4 y) + y' \cdot - 4 = 3$

Langkah 5.3.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 x) + y' (4 y)$ .

$y' (3 x + 4 y) + y' \cdot - 4 = 3$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 x + 4 y) + y' \cdot - 4$ .

$y' (3 x + 4 y - 4) = 3$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (3 x + 4 y - 4) = 3$ dengan $3 x + 4 y - 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 x + 4 y - 4) = 3$ dengan $3 x + 4 y - 4$ .

$\frac{y' (3 x + 4 y - 4)}{3 x + 4 y - 4} = \frac{3}{3 x + 4 y - 4}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x + 4 y - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 x + 4 y - 4)}{3 x + 4 y - 4} = \frac{3}{3 x + 4 y - 4}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3}{3 x + 4 y - 4}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x + 4 y - 4}$