Kalkulus Contoh

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $x = 3 \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = 3 \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positif.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $9$ dari $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $9$ dari $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.5

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $9 \cos^{2} (t)$ sebagai ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ dan $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.7

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.8

Naikkan $\cos (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.10

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.11

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Langkah 2.2.12

Konversikan dari $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ ke $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Langkah 3

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cot^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 6

Karena turunan dari $- \cot (t)$ adalah $\csc^{2} (t)$ , maka integral dari $\csc^{2} (t)$ adalah $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Langkah 7

Sederhanakan.

$- t - \cot (t) + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

Langkah 9

Susun kembali suku-suku.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$