Aljabar Contoh

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $23$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $23 x$ terhadap $x$ adalah $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $23$ dengan $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.4

Karena $- 216$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 216$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $2600$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2600}{x}$ terhadap $x$ adalah $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Langkah 1.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Tambahkan $x + 23$ dan $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.6.2.2

Gabungkan $- 2600$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Langkah 1.6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Langkah 1.6.3

Susun kembali suku-suku.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2600$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2600}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.9

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.2.10

Kalikan $- 2$ dengan $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Langkah 2.3

Karena $23$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $23$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $5200$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $23$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $23 x$ terhadap $x$ adalah $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $23$ dengan $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.4

Karena $- 216$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 216$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Langkah 4.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Karena $2600$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2600}{x}$ terhadap $x$ adalah $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 4.1.5.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 4.1.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Langkah 4.1.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4.1.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.2.1

Tambahkan $x + 23$ dan $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4.1.6.2.2

Gabungkan $- 2600$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Langkah 4.1.6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Langkah 4.1.6.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Langkah 5.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx 9.01216529$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{2600}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 6.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 9.01216529$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 9.01216529$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Naikkan $9.01216529$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Langkah 9.1.2

Bagilah $5200$ dengan $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Langkah 9.2

Tambahkan $7.10421175$ dan $1$ .

$8.10421175$

Langkah 10

$x = 9.01216529$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 9.01216529$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 9.01216529$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $9.01216529$ pada pernyataan tersebut.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Naikkan $9.01216529$ menjadi pangkat $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $0.5$ dengan $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $23$ dengan $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Langkah 11.2.1.4

Bagilah $2600$ dengan $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Tambahkan $40.60956164$ dan $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Langkah 11.2.2.2

Kurangi $216$ dengan $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Langkah 11.2.2.3

Tambahkan $31.88936342$ dan $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ adalah minimum lokal

Langkah 13