Aljabar Contoh

$p (x) = (2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$

Langkah 1

Sederhanakan dan susun ulang polinomial tersebut dalam urutan turun untuk menggunakan kaidah Descartes.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Perluas $(2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$2 x^{4} x^{3} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x^{4}) + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{3 + 4} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.1.3

Tambahkan $3$ dan $4$ .

$2 x^{7} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 (x^{3} x^{3}) - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3 + 3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.3.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $- 5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.5

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.5.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.5.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{3 + 1} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.5.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.6

Kalikan $5$ dengan $10$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Langkah 1.2.1.7

Kalikan $- 25$ dengan $5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tambahkan $10 x^{4}$ dan $10 x^{4}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Langkah 1.2.2.2

Kurangi $25 x^{3}$ dengan $- 25 x^{3}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Langkah 1.2.2.3

Pindahkan $20 x^{4}$ .

$2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Langkah 2

Untuk menghitung jumlah akar positif yang memungkinkan, lihat tanda-tanda pada koefisien dan hitung berapa kali tanda-tanda pada koefisien berubah dari positif ke negatif atau negatif ke positif.

$f (x) = 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Langkah 3

Karena ada $5$ perubahan tanda dari suku urutan tertinggi ke terendah, maka terdapat paling banyak $5$ akar positif (Aturan Tanda Descartes). Bilangan lain yang memungkinkan dari akar positif ditemukan dengan mengurangi pasangan akar $(5 - 2)$ .

Akar Positif: $5$ , $3$ , or $1$

Langkah 4

Untuk menghitung jumlah akar negatif yang memungkinkan, substitusikan $x$ dengan $- x$ dan ulangi perbandingan tanda.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{7} x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $7$ .

$f (- x) = 2 (- x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 ({(- 1)}^{6} x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $6$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 (1 x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.6

Kalikan $x^{6}$ dengan $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 (1 x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.9

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 (- x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} + 50 (- x) - 125$

Langkah 5.13

Kalikan $- 1$ dengan $50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} - 50 x - 125$

Langkah 6

Karena ada $2$ perubahan tanda dari suku urutan tertinggi ke terendah, maka terdapat paling banyak $2$ akar negatif (Aturan Tanda Descartes). Bilangan lain yang memungkinkan dari akar negatif ditemukan dengan mengurangi pasangan akar (contoh $2 - 2$ ).

Akar Negatif: $2$ atau $0$

Langkah 7

Jumlah akar-akar positif yang memungkinkan adalah $5$ , $3$ , or $1$ , dan jumlah akar-akar negatif yang memungkinkan adalah $2$ atau $0$ .

Akar Positif: $5$ , $3$ , or $1$

Akar Negatif: $2$ atau $0$