Aljabar Contoh

$\frac{y^{3} - y^{2} + 8 y - 5}{y - 7}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = y^{3} - y^{2} + 8 y - 5$ dan $g (y) = y - 7$ .

$\frac{(y - 7) \frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 8 y - 5] - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} - y^{2} + 8 y - 5$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{(y - 7) (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $8$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $8 y$ terhadap $y$ adalah $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 4.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 + 0) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 5.2

Tambahkan $3 y^{2} - 2 y + 8$ dan $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 7$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (1 + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 5.5

Karena $- 7$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 7$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (1 + 0)}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 5.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) + (- y^{3} - - y^{2} - (8 y) - - 5) \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Perluas $(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{y (3 y^{2}) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.2.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2} y) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 (y^{2} y^{1}) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 y^{2 + 1} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{3 y^{3} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 y^{3} - 2 y \cdot y + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.4

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.4.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 (y \cdot y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.5

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 \cdot y - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.6

Kalikan $3$ dengan $- 7$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 7$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} + 14 y - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.8

Kalikan $- 7$ dengan $8$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} + 14 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.3

Kurangi $21 y^{2}$ dengan $- 2 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 8 y + 14 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.4

Tambahkan $8 y$ dan $14 y$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.6

Kalikan $- - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + 1 y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.6.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.8

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.9

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.10

Kalikan $- - 5 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y + 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.1.10.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.2

Kurangi $y^{3}$ dengan $3 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 + y^{2} - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.3

Tambahkan $- 23 y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 22 y - 56 - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.4

Kurangi $8 y$ dengan $22 y$ .

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 14 y - 56 + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Langkah 6.3.5

Tambahkan $- 56$ dan $5$ .

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 14 y - 51}{{(y - 7)}^{2}}$