Aljabar Contoh

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 \cdot 1 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Langkah 4.1.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$1 + 6 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 6 + 7 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 8$

Langkah 4.1.5

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 \cdot 1 - 8$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 - 8$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$7 + 7 - 6 - 8$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $7$ dan $7$ .

$14 - 6 - 8$

Langkah 4.2.3

Kurangi $6$ dengan $14$ .

$8 - 8$

Langkah 4.2.4

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$	$7$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(7)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(7)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(7)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$	$14$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(14)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(14)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(8)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(8)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 8)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (14) x + 8$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Langkah 7.1.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Langkah 7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Langkah 7.1.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Langkah 7.1.5

Faktorkan $7 x$ dari $7 x^{2} + 14 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.5.1

Faktorkan $7 x$ dari $7 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Langkah 7.1.5.2

Faktorkan $7 x$ dari $14 x$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Langkah 7.1.5.3

Faktorkan $7 x$ dari $7 x (x) + 7 x (2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Langkah 7.1.6

Faktorkan $x + 2$ dari $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.6.1

Faktorkan $x + 2$ dari $7 x (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Langkah 7.1.6.2

Faktorkan $x + 2$ dari $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Langkah 7.1.7

Tambahkan $- 2 x$ dan $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Langkah 7.1.8

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1

Faktorkan $x^{2} + 5 x + 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.8.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $4$ dan jumlahnya $5$ .

$1, 4$

Langkah 7.1.8.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Langkah 7.1.8.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 7.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 7.4

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 7.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7.5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 7.5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ benar.

$x = - 2, - 1, - 4$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 1) (x + 2) (x + 1) (x + 4)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$ .

$x = 1, - 2, - 1, - 4$

Langkah 10