Aljabar Contoh

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 0.5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2.2

Karena $0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.5 x$ terhadap $x$ adalah $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $0.5$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan $0.5$ ke sebelah kiri $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $64 e^{- 0.5 x}$ terhadap $x$ adalah $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 0.5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Langkah 1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Langkah 1.1.3.3

Karena $- 0.5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 0.5 x$ terhadap $x$ adalah $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $- 0.5$ dengan $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Langkah 1.1.3.6

Pindahkan $- 0.5$ ke sebelah kiri $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Langkah 1.1.3.7

Kalikan $- 0.5$ dengan $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

Langkah 2.2

Pindahkan $- 32 e^{- 0.5 x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

Langkah 2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Langkah 2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ sebagai $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Langkah 2.4.2

Perluas $\ln (e^{0.5 x})$ dengan memindahkan $0.5 x$ ke luar logaritma.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Langkah 2.4.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Langkah 2.4.4

Kalikan $0.5$ dengan $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Langkah 2.5

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ sebagai $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Langkah 2.5.2

Perluas $\ln (e^{- 0.5 x})$ dengan memindahkan $- 0.5 x$ ke luar logaritma.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

Langkah 2.5.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

Langkah 2.5.4

Kalikan $- 0.5$ dengan $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

Langkah 2.6

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

Langkah 2.7

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Langkah 2.8

Bagilah $0.5$ dengan $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

Langkah 2.9

Kurangi $0.5 x$ dengan $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

Langkah 2.10

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

Langkah 2.11

Bagi setiap suku pada $- 1 x = \ln (0.015625)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Bagilah setiap suku di $- 1 x = \ln (0.015625)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.1.2

Faktorkan $1$ dari $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.2.1

Tulis kembali $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ sebagai $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.2.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.3

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.2.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Langkah 2.11.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

Langkah 2.11.3.2

Bagilah $\ln (0.015625)$ dengan $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \ln (0.015625))$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.15888308$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $0.5$ dengan $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $0.5$ dengan $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 0.5$ dengan $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

Langkah 5.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

Langkah 5.2.1.5

Gabungkan $- 32$ dan $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

Langkah 5.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

Langkah 5.2.1.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

Langkah 5.2.1.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

Langkah 5.2.1.9

Bagilah $32$ dengan $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

Langkah 5.2.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

Langkah 5.2.2

Kurangi $6.59488508$ dengan $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

Langkah 5.3

Pada $x = 3.15888308$ , turunannya adalah $- 4.16876244$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \ln (0.015625))$ .

Menurun pada $(- \infty, - \ln (0.015625))$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \ln (0.015625), \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $5.15888308$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $0.5$ dengan $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $0.5$ dengan $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 0.5$ dengan $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

Langkah 6.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

Langkah 6.2.1.5

Gabungkan $- 32$ dan $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

Langkah 6.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

Langkah 6.2.1.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

Langkah 6.2.1.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

Langkah 6.2.1.9

Bagilah $32$ dengan $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

Langkah 6.2.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

Langkah 6.2.2

Kurangi $2.42612263$ dengan $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4.16876244$ .

$4.16876244$

Langkah 6.3

Pada $x = 5.15888308$ , turunannya adalah $4.16876244$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \ln (0.015625), \infty)$ .

Meningkat pada $(- \ln (0.015625), \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \ln (0.015625), \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

Langkah 8