Aljabar Contoh

$f (x) = {(x^{2} + 6)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x^{2} + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (6))$

Langkah 1.2.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x)$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 6)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 6)}^{3})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 6)}^{3}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x^{2} + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.3

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 6)}^{2} x) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan ${(x^{2} + 6)}^{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3})$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Langkah 2.11.2

Kalikan $6$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Langkah 2.11.3

Faktorkan $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ dari $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2} + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.3.1

Faktorkan $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ dari $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Langkah 2.11.3.2

Faktorkan $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ dari $8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.3.3

Faktorkan $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ dari $8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.4

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.5

Tulis kembali ${(x^{2} + 6)}^{2}$ sebagai $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.6

Perluas $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.7.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.7.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.7.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.7.1.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.7.1.3

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.7.2

Tambahkan $6 x^{2}$ dan $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 12 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.8

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (12 x^{2}) + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.9.1

Kalikan $12$ dengan $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.9.2

Kalikan $8$ dengan $36$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$

Langkah 2.11.10

Perluas $(8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.11.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.2

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.11.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.2.3

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.3

Kalikan $8$ dengan $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.4

Kalikan $6$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.6

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.11.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.6.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{4}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.7

Kalikan $96$ dengan $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.8

Kalikan $6$ dengan $96$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.9

Kalikan $7$ dengan $288$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 288 \cdot 6$

Langkah 2.11.11.10

Kalikan $288$ dengan $6$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Langkah 2.11.12

Tambahkan $48 x^{4}$ dan $672 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Langkah 2.11.13

Tambahkan $576 x^{2}$ dan $2016 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$ .

$56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$