Aljabar Contoh

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Langkah 1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 2

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 2 x^{4} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 2 x^{4}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 2 x$ dari $2 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 2.3

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 4

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ di mana $a = x$ dan $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 5.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Langkah 6

Faktorkan $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Langkah 6.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Langkah 6.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Langkah 6.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Langkah 6.3.3

Kalikan $13$ dengan $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Langkah 6.3.4

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Langkah 6.3.5

Kalikan $- 21$ dengan $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Langkah 6.3.6

Kurangi $21$ dengan $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Langkah 6.3.7

Tambahkan $- 8$ dan $8$ .

$f (x) = 0$

Langkah 6.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Langkah 6.5

Bagilah $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$f (x) =$

Langkah 6.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $13 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$f (x) =$

Langkah 6.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$f (x) =$

Langkah 6.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$f (x) =$

Langkah 6.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$f (x) =$

Langkah 6.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$f (x) =$

Langkah 6.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 8 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$f (x) =$

Langkah 6.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$f (x) =$

Langkah 6.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 8 x^{2} + 8 x$

$f (x) =$

Langkah 6.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$f (x) =$

Langkah 6.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$f (x) =$

Langkah 6.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 8 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$f (x) =$

Langkah 6.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$f (x) =$

Langkah 6.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 8 x + 8$

$f (x) =$

Langkah 6.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$f (x) =$

Langkah 6.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Langkah 6.6

Tulis $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ sebagai himpunan faktor.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 7

Faktorkan $x - 1$ dari $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $x - 1$ dari $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 7.2

Faktorkan $x - 1$ dari $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 8

Terapkan sifat distributif.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pindahkan $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 9.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Langkah 10

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Langkah 11

Kurangi $8 x$ dengan $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Langkah 12

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Faktorkan $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 12.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Langkah 12.1.1.3

Substitusikan $- 0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Substitusikan $- 0.5$ ke dalam polinomialnya.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.2

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.4

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.5

Kalikan $11$ dengan $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.6

Tambahkan $0.25$ dan $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.7

Kalikan $- 10$ dengan $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Langkah 12.1.1.3.8

Tambahkan $3$ dan $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Langkah 12.1.1.3.9

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$f (x) = 0$

Langkah 12.1.1.4

Karena $- 0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Langkah 12.1.1.5

Bagilah $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ dengan $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $12 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $12 x^{2} + 6 x$

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 16 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 16 x - 8$

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$f (x) =$

Langkah 12.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Langkah 12.1.1.6

Tulis $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ sebagai himpunan faktor.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Langkah 12.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + i x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ dan yang jumlahnya adalah $i = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1.1.1

Faktorkan $6$ dari $6 x$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Langkah 12.1.2.1.1.2

Tulis kembali $6$ sebagai $2$ ditambah $4$

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Langkah 12.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Langkah 12.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Langkah 12.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Langkah 12.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Langkah 12.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Langkah 12.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$