Aljabar Contoh

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

Langkah 1

Tentukan $A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Matriks balikan $2 \times 2$ dapat ditemukan menggunakan rumus $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ di mana $a d - b c$ adalah determinannya.

Langkah 2.2

Temukan determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$- 15 - 6 \cdot 4$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $- 6$ dengan $4$ .

$- 15 - 24$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $- 15$ .

$- 39$

Langkah 2.3

Karena determinannya bukan nol, terdapat balikan.

Langkah 2.4

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus dengan balikannya.

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Langkah 2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Langkah 2.6

Kalikan $- \frac{1}{39}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{39}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.2

Faktorkan $3$ dari $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.3

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{- 1}{13}$ dan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.4

Kalikan $- \frac{1}{39} \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{39}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.5.2

Faktorkan $3$ dari $39$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.5.3

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.6

Gabungkan $\frac{- 1}{13}$ dan $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Langkah 2.7.8

Kalikan $- \frac{1}{39} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.8.1

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

Langkah 2.7.8.2

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

Langkah 2.7.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai $1$ jika dikalikan dengan balikannya. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan $[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Dua matriks dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Dalam kasus ini, matriks pertama adalah $2 \times 2$ dan matriks kedua adalah $2 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$x = 4$

$y = - 3$