Aljabar Contoh

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.6.3.2.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.3.3

Kalikan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.5.2.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.5.2.3

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Langkah 2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.15

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Langkah 2.16

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.3

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{2} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.3.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.5

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.7

Tulis kembali $- (3 x^{2} - 1)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.17.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$