Aljabar Contoh

${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ sebagai $e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{d}{d n} [e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})$ dengan memindahkan $n$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d n} [e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ adalah $f' (g (n)) g' (n)$ di mana $f (n) = e^{n}$ dan $g (n) = n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ adalah $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ di mana $f (n) = n$ dan $g (n) = \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{1}{n})] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ adalah $f' (g (n)) g' (n)$ di mana $f (n) = \ln (n)$ dan $g (n) = 1 + \frac{1}{n}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$ dan $n$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{1}{n}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5.3

Karena $1$ konstan terhadap $n$ , turunan dari $1$ terhadap $n$ adalah $0$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali $\frac{1}{n}$ sebagai $n^{- 1}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 5.6

Gabungkan $\frac{n}{1 + \frac{1}{n}}$ dan $n^{- 2}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 6

Kalikan $n$ dengan $n^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $n$ dengan $n^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $n$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1} n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 6.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1 - 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{- 1}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 7

Pindahkan $n^{- 1}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)$

Langkah 9

Kalikan $\ln (1 + \frac{1}{n})$ dengan $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}))$

Langkah 10

Untuk menuliskan $\ln (1 + \frac{1}{n})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

Langkah 11

Gabungkan $\ln (1 + \frac{1}{n})$ dan $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

Langkah 12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Langkah 13

Gabungkan $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ dan $\frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Langkah 14.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.1.1

Kalikan $n$ dengan $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + 1))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.1.3

Kalikan $\ln (1 + \frac{1}{n})$ dengan $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \cdot - 1 + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.4

Tulis kembali $- 1 e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ sebagai $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.3.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Kalikan $n$ dengan $1$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{1}{n} n}$

Langkah 14.4.2

Gabungkan $\frac{1}{n}$ dan $n$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

Langkah 14.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $n$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

Langkah 14.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + 1}$

Langkah 14.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} n \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) - e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}}{n + 1}$