Aljabar Contoh

$x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 108$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(3)}^{4} - 7 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$81 - 7 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$81 - 7 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $27$ .

$81 - 189 + 3 {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.4

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$81 - 189 + 3^{1} {(3)}^{2} + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$81 - 189 + 3^{1 + 2} + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$81 - 189 + 3^{3} + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$81 - 189 + 27 + 63 (3) - 108$

Langkah 4.1.6

Kalikan $63$ dengan $3$ .

$81 - 189 + 27 + 189 - 108$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $189$ dengan $81$ .

$- 108 + 27 + 189 - 108$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 108$ dan $27$ .

$- 81 + 189 - 108$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 81$ dan $189$ .

$108 - 108$

Langkah 4.2.4

Kurangi $108$ dengan $108$ .

$0$

Langkah 5

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 7 x^{3} + 3 x^{2} + 63 x - 108}{x - 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(3)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$	$- 9$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 9)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 27)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(63)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$
	$1$	$- 4$	$- 9$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$
	$1$	$- 4$	$- 9$	$36$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(36)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(108)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 108)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$	$108$
	$1$	$- 4$	$- 9$	$36$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$3$	$63$	$- 108$
		$3$	$- 12$	$- 27$	$108$
	$1$	$- 4$	$- 9$	$36$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 9) x + 36$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 3) (x^{3} - 4 x^{2}) - 9 x + 36$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 3) + x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)$

$(x - 3) x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 4$ .

$(x - 3) (x - 4) (x^{2} - 9)$

Langkah 9

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$(x - 3) (x - 4) (x^{2} - 3^{2})$

Langkah 10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$(x - 3) + (x - 4) ((x + 3) (x - 3))$

Langkah 10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 3) + (x - 4) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 3) (x - 4) (x + 3) (x - 3)$

Langkah 11

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 7 x^{3} + 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.2

Faktorkan $- 7 x$ dari $- 7 x^{3} + 63 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Faktorkan $- 7 x$ dari $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.2.2

Faktorkan $- 7 x$ dari $63 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 9 + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.2.3

Faktorkan $- 7 x$ dari $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 9)$ .

$- 7 x (x^{2} - 9) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.3

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$- 7 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.5

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 108 = 0$

Langkah 11.6

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} + 3 u - 108 = 0$

Langkah 11.7

Faktorkan $u^{2} + 3 u - 108$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 108$ dan jumlahnya $3$ .

$- 9, 12$

Langkah 11.7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 12) = 0$

Langkah 11.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 12) = 0$

Langkah 11.9

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Langkah 11.10

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 3$ .

$- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

Langkah 11.11

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $- 7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.11.1

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $- 7 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

Langkah 11.11.2

Faktorkan $(x + 3) (x - 3)$ dari $(x + 3) (x - 3) (- 7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Langkah 11.12

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Langkah 11.13

Faktorkan $- 7 u + u^{2} + 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.13.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $12$ dan jumlahnya $- 7$ .

$- 4, - 3$

Langkah 11.13.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Langkah 11.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.14.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Langkah 11.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 3) (x - 3) (x - 4) (x - 3) = 0$

Langkah 11.15

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.15.1

Naikkan $x - 3$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x - 4) = 0$

Langkah 11.15.2

Naikkan $x - 3$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x - 4) = 0$

Langkah 11.15.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (x - 4) = 0$

Langkah 11.15.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 0$

Langkah 12

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 13

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 14

Atur ${(x - 3)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur ${(x - 3)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 14.2

Selesaikan ${(x - 3)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 15

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 15.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 16

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x - 4) = 0$ benar.

$x = - 3, 3, 4$

Langkah 17