Aljabar Contoh

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Langkah 1

Ambil masing-masing persamaan bidang dalam bentuk baku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menuliskan $\frac{x + 3}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.2

Untuk menuliskan $\frac{y - 1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Kalikan $\frac{x + 3}{4}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $\frac{y - 1}{3}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5.6

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.1.5.7

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Langkah 1.2

Pisahkan pecahan $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.3

Pisahkan pecahan $\frac{3 x + 4 y}{12}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $4$ dari $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Langkah 1.6

Kurangkan $\frac{5}{12}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Langkah 1.7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Langkah 1.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Langkah 1.7.3

Kurangi $5$ dengan $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Langkah 2

Untuk menentukan perpotongan garis yang melalui titik $(p, q, r)$ tegak lurus terhadap bidang $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ dan bidang $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tentukan vektor normal bidang (Variabel0) dan bidang (Variabel1) di mana vektor normalnya adalah $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dan $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Periksa untuk memastikan bahwa hasil perkalian titiknya adalah 0.

2. Buat sebuah himpunan persamaan parametrik sedemikian rupa sehingga $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ .

3. Substitusikan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan untuk bidang (Variabel0) sedemikian rupa sehingga $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ dan selesaikan $t$ .

4. Menggunakan nilai dari $t$ , selesaikan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ untuk $t$ untuk menentukan perpotongan $(x, y, z)$ .

Langkah 3

Tentukan vektor normal untuk setiap bidang dan tentukan apakah tegak lurus dengan menghitung hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

(Variabel0) adalah $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Cari vektor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Langkah 3.2

(Variabel0) adalah $2 x - y = 12$ . Cari vektor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dari persamaan bidang bentuk $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Langkah 3.3

Hitung hasil perkalian titik dari $n_{1}$ dan $n_{2}$ dengan menjumlahkan hasil kali dari nilai $x$ , $y$ , dan $z$ yang sesuai dalam vektor normal.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4

Sederhanakan hasil perkalian titiknya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Langkah 3.4.3

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Langkah 3.4.4

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Langkah 3.4.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Langkah 3.4.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Langkah 3.4.5.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Langkah 3.4.5.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Langkah 3.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Langkah 3.4.7

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Langkah 3.4.8

Tambahkan $\frac{1}{6}$ dan $0$ .

$\frac{1}{6}$

Langkah 4

Selanjutnya, buat himpunan persamaan parametrik $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , dan $z = r + c t$ menggunakan titik asal $(0, 0, 0)$ untuk titik $(p, q, r)$ dan nilai dari vektor normal $\frac{1}{6}$ untuk nilai-nilai $a$ , $b$ , dan $c$ . Himpunan persamaan parametrik ini mewakili garis yang melalui asalnya yaitu tegak lurus dengan $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Langkah 5

Substitusikan pernyataan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ ke dalam persamaan untuk $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6.1.1.2

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Langkah 6.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Langkah 6.1.3

Untuk menuliskan $\frac{t}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Langkah 6.1.4

Untuk menuliskan $- \frac{t}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Langkah 6.1.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Kalikan $\frac{t}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Langkah 6.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Langkah 6.1.5.3

Kalikan $\frac{t}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Langkah 6.1.5.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Langkah 6.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Langkah 6.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.7.1

Faktorkan $t$ dari $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.7.1.1

Faktorkan $t$ dari $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Langkah 6.1.7.1.2

Faktorkan $t$ dari $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Langkah 6.1.7.1.3

Faktorkan $t$ dari $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Langkah 6.1.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Langkah 6.1.7.3

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Langkah 6.1.8

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Langkah 6.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Langkah 6.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Langkah 6.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$t = 6 \cdot 12$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $6$ dengan $12$ .

$t = 72$

Langkah 7

Selesaikan persamaan parametrik untuk $x$ , $y$ , dan $z$ menggunakan nilai dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Langkah 7.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Langkah 7.1.3

Sederhanakan $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Langkah 7.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Langkah 7.1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 0 + 18$

Langkah 7.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $18$ .

$x = 18$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Langkah 7.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Langkah 7.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 0 + 24$

Langkah 7.2.3.2

Tambahkan $0$ dan $24$ .

$y = 24$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan untuk $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan $0 + 0 \cdot (72)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan $0$ dengan $72$ .

$z = 0 + 0$

Langkah 7.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$z = 0$

Langkah 7.4

Persamaan parametrik yang diselesaikan untuk $x$ , $y$ , dan $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Langkah 8

Menggunakan nilai yang dihitung untuk $x$ , $y$ , dan $z$ , titik perpotongannya ditemukan, yaitu $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$