Aljabar Contoh

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} - 4 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 x^{4} - 12 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$5 u^{2} - 12 u = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $u$ dari $5 u^{2} - 12 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $u$ dari $5 u^{2}$ .

$u (5 u) - 12 u = 0$

Langkah 2.2.3.2

Faktorkan $u$ dari $- 12 u$ .

$u (5 u) + u \cdot - 12 = 0$

Langkah 2.2.3.3

Faktorkan $u$ dari $u (5 u) + u \cdot - 12$ .

$u (5 u - 12) = 0$

Langkah 2.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $5 x^{2} - 12$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $5 x^{2} - 12$ sama dengan $0$ .

$5 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $5 x^{2} - 12 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$5 x^{2} = 12$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x^{2} = 12$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x^{2} = 12$ dengan $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{12}{5}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{5}$

Langkah 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{12}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{12}{5}}$ sebagai $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.2.1

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.2.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.3

Kalikan $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.4.1

Kalikan $\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.4.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.4.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 2.5.2.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.2.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 2.5.2.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.2.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.2.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.2.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.2.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 2.5.2.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.5.2.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.5.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

Langkah 2.5.2.4.5.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Langkah 2.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Langkah 2.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Langkah 2.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x^{2} (5 x^{2} - 12) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$ .

$0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0) \cup (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5}) \cup (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.5491934$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2.5491934) = 5 {(- 2.5491934)}^{4} - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.5491934$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $42.22903347$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(- 2.5491934)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 2.5491934$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $6.49838699$ .

$f' (- 2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Langkah 5.2.2

Kurangi $77.98064388$ dengan $211.14516739$ .

$f' (- 2.5491934) = 133.16452351$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $133.16452351$ .

$133.16452351$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2.5491934$ , turunannya adalah $133.16452351$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1.5491934, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.7745967$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.7745967) = 5 {(- 0.7745967)}^{4} - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.7745967$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $0.36000005$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(- 0.7745967)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 0.7745967$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $0.60000004$ .

$f' (- 0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Langkah 6.2.2

Kurangi $7.20000057$ dengan $1.80000028$ .

$f' (- 0.7745967) = - 5.40000028$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Langkah 6.3

Pada $x = - 0.7745967$ , turunannya adalah $- 5.40000028$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1.5491934, 0)$ .

Menurun pada $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.7745967$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.7745967) = 5 {(0.7745967)}^{4} - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.7745967$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (0.7745967) = 5 \cdot 0.36000005 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $0.36000005$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 {(0.7745967)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $0.7745967$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 12 \cdot 0.60000004$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $0.60000004$ .

$f' (0.7745967) = 1.80000028 - 7.20000057$

Langkah 7.2.2

Kurangi $7.20000057$ dengan $1.80000028$ .

$f' (0.7745967) = - 5.40000028$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 5.40000028$ .

$- 5.40000028$

Langkah 7.3

Pada $x = 0.7745967$ , turunannya adalah $- 5.40000028$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ .

Menurun pada $(0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.5491934$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2.5491934) = 5 {(2.5491934)}^{4} - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2.5491934$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (2.5491934) = 5 \cdot 42.22903347 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $42.22903347$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 {(2.5491934)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $2.5491934$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 12 \cdot 6.49838699$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $6.49838699$ .

$f' (2.5491934) = 211.14516739 - 77.98064388$

Langkah 8.2.2

Kurangi $77.98064388$ dengan $211.14516739$ .

$f' (2.5491934) = 133.16452351$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $133.16452351$ .

$133.16452351$

Langkah 8.3

Pada $x = 2.5491934$ , turunannya adalah $133.16452351$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{15}}{5}), (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, \infty)$

Menurun pada: $(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (0, \frac{2 \sqrt{15}}{5})$

Langkah 10