Aljabar Contoh

$x e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $x e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{- x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Langkah 3.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $- x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $- x + 1$ sama dengan $0$ .

$- x + 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $- x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- x} (- x + 1) = 0$ benar.

$x = 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1$ .

$1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = x e^{- x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 0 \cdot e^{- (0)} + e^{- (0)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{- (0)}$

Langkah 6.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- (0)}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{- (0)}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Langkah 6.2.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- (2)} + e^{- (2)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (2) = - 2 \cdot e^{- 2} + e^{- (2)}$

Langkah 7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Langkah 7.2.1.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Langkah 7.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- (2)}$

Langkah 7.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Langkah 7.2.1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Langkah 7.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $- \frac{1}{e^{2}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(1, \infty)$ .

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 1)$

Menurun pada: $(1, \infty)$

Langkah 9